三角函数和差角公式

和角公式

$\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta$
$\cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta$

$$ \tan(\alpha+\beta)= \frac{\sin(\alpha+\beta)}{\cos(\alpha+\beta)}= \frac{\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta}{\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta} $$

上下同时除以$\cos\alpha\cos\beta$

$$ \tan(\alpha+\beta)= \frac{\tan\alpha+\tan\beta}{1-\tan\alpha\tan\beta} $$

差角公式

将和角公式中的$\beta$换为$-\beta$并利用诱导公式可以推出:
$\sin(\alpha-\beta)=\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta$
$\cos(\alpha-\beta)=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta$

$$ \tan(\alpha+\beta)= \frac{\tan\alpha-\tan\beta}{1+\tan\alpha\tan\beta} $$

例子

$$ \sin15^\circ=\sin(45^\circ-30^\circ)=\sin45^\circ\cos30^\circ-cos45^\circ\sin30^\circ=\frac{\sqrt2}{2}\times\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\sqrt2}{2}\times\frac{1}{2}=\frac{\sqrt6-\sqrt2}{4} $$

推论(特殊角三角函数值)

$\cos75^\circ=\sin15^\circ=\frac{\sqrt6-\sqrt2}{4}$
$\sin75^\circ=\cos15^\circ=\frac{\sqrt6+\sqrt2}{4}$